8.2. Поле заряженных проводников и конденсаторов

Электроемкость проводников и конденсаторов. Электрической емкостью (электроемкостью, емкостью) будем называть величину

Электроемкость является величиной постоянной для данного проводника, она не зависит от заряда проводника, от потенциала, но зависит от диэлектрических свойств среды и форм и размеров проводника.

Поле заряженной пластины. Бесконечная заряженная пластина будет создавать электрическое поле, форма которого изображена на рисунке 8.4, а.

Рис. 8.4. Поле заряженной пластины (а) и плоского конденсатора (б)

Из теоремы Остроградского — Гаусса (8.4) следует, что

Последним выражением определяется напряженность электрического поля, создаваемого бесконечной заряженной пластиной. В нем σ = qS — поверхностная плотность заряда (т.е. заряд, приходящийся на единицу площади.)

Поле плоского конденсатора. Плоский конденсатор представляет собой две параллельные пластины, на которых находится одинаковый по модулю, но противоположный по знаку заряд. Следовательно, напряженность электрического поля, созданного двумя пластинами, в два раза больше напряженности поля, созданного пластиной

Форма электрического поля, созданного плоским конденсатором, изображена на рисунках 8.4, б и 8.5. В области между пластинами два поля, созданные положительной и отрицательной пластинами, имеют одинаковое направление и при наложении усиливают друг друга. В областях же вне пластин (см. рис. 8.4, б, слева и справа) названные поля противоположны по направлению и при наложении компенсируют друг друга.

Рис. 8.5. Поле плоского конденсатора

Выведем выражение для определения электроемкости плоского конденсатора

Окончательно

где S — площадь пластин, ε — диэлектрическая проницаемость диэлектрика между пластинами.

Поле цилиндрического конденсатора. Цилиндрический конденсатор представляет собой два коаксиальных цилиндра (рис. 8.6). Напряженность поля в точке на расстоянии r от оси цилиндрического конденсатора

            (8.5)

где q — заряд на обкладках конденсатора, l — его длина (высота), λ = q/l — линейная плотность заряда, r — текущая координата точки (не радиус цилиндра).

Рис. 8.6. Поле цилиндрического конденсатора

Заметим, что, в отличие от плоского конденсатора, электрическое поле цилиндрического конденсатора неоднородно, т.е. различно в разных точках вдоль радиуса,

Электроемкость цилиндрического конденсатора

      (8.6)

где R1, R2 — радиусы цилиндров.

Поле сферического конденсатора. Напряженность электрического поля внутри сферического конденсатора

Электроемкость

где R1 и R2 — радиусы сфер.

Электроемкость уединенной сферы с радиусом R равна

Пример

Дано: электрически заряженная пылинка падает вертикально вниз, находясь посередине между пластинами заряженного вакуумного плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально. Расстояние между пластинами равно d. Пылинка в вакууме падает с ускорением. На пластины конденсатора подают напряжение U. Через какое время после подачи напряжения пылинка достигнет одной из пластин конденсатора? Какое расстояние по вертикали при этом пролетит пылинка? Массу и заряд пылинки считать равными m и q соответственно.

Решение: на пылинку в горизонтальном направлении будет действовать сила Кулона, определяемая выражением

где напряженность электрического поля можно определить как

Приравняв последнее выражение ко второму закону Ньютона, получим горизонтальное ускорение пылинки

   (1)

Горизонтальная компонента скорости

Тогда из уравнений кинематики следует, что перемещение пылинки в горизонтальном направлении подчиняется уравнению

      (2)

Совместное решение уравнений (1) и (2) дает

Расстояние по вертикали определим как


Энергия электрического поля определяется выражениями

Если поле однородно, то энергия распределена в пространстве с постоянной плотностью, при этом объемная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу объема) есть

где D — индукция электрического поля.

Зависимость поверхностной плотности заряда σ от кривизны поверхности 1/r в данной точке проводника определяется выражением

где φ — потенциал проводника. Из последнего выражения видно, что поверхностная плотность заряда обратна кривизне поверхности. Это означает, что она выше вблизи острых кромок, выпуклостей и вогнутостей, но минимальна на горизонтальной поверхности.

Важно запомнить

  1. Электроемкость:
  2. Поле: заряженной пластины плоского конденсатора
  3. Электроемкость плоского конденсатора:
  4. Для цилиндрического конденсатора: поле емкость
  5. Для сферического конденсатора: поле емкость
  6. Энергия электрического поля:
Последнее изменение: четверг, 15 Сентябрь 2016, 15:07