8.5. Законы постоянного тока

Электрический ток — направленное движение заряженных частиц. Простое наличие в проводнике свободных электронов или других носителей заряда током, конечно, не является.

Сила тока есть количество заряда q, прошедшего по сечению проводника за единицу времени t.

 (в дифференциальном виде

Однако во многих случаях удобнее пользоваться такой величиной, как плотность тока.

Плотность тока — сила тока в проводнике, отнесенная к площади его поперечного сечения

Последнее соотношение — векторное, из него следует, что направление плотности тока совпадает с направлением силы тока.

За направление силы (плотности) тока принято считать направление движения положительных зарядов, т.е. от «плюса» к «минусу». Получается удивительная ситуация: в проводниках основными носителями заряда являются электроны, т.е. отрицательные заряды, а движутся они от «минуса» к «плюсу», а мы считаем, что направление тока противоположно направлению движения электронов. Это принятая условность.

Для того, чтобы в проводнике возник электрический ток (т.е. направленное движение зарядов), необходимо, чтобы существовали силы неэлектростатического происхождения (т.е. не кулоновские силы). Такие силы называются сторонние силы.

Сторонние силы — силы, поддерживающие разность потенциалов на концах проводника. Между свободными зарядами в проводнике возникают электростатические (кулоновские) силы, но они не способны организовать направленное движение заряженных частиц. Источником сторонних сил служат гальванические элементы, аккумуляторы, генераторы и т.д.

Электродвижущая сила (ЭДС). Сторонние силы можно охарактеризовать работой, которую они совершают при перемещении заряженных частиц. Таким образом, работа сторонних сил по перемещению пробного заряда есть электродвижущая сила (или ЭДС):

Единица измерения ЭДС — Вольт, Из определения работы следует, что

Напряжение (падение напряжения). Из последней формулы, с учетом того, что в проводнике помимо сторонних сил есть еще и кулоновские, следует, что напряжение на концах проводника определяется как

где  — ЭДС источника, (φ1 – φ2) — разность потенциалов на концах участка (падение потенциала).

Получается, что в общем случае напряжение, разность потенциалов и ЭДС — не одно и то же. Однако, например, в отсутствии источника напряжение будет равно численно разности потенциалов:

Закон Ома для участка цепи: сила тока I в проводнике прямо пропорциональна напряжению U на его концах

(8.9)

где R — сопротивление проводника, которое пропорционально длине l проводника и обратно пропорционально площади S его поперечного сечения

Здесь ρ — удельное сопротивление материала проводника; σ = 1/ρ — удельная электропроводность материала.

Закон Ома в дифференциальной форме. Выведем дифференциальную форму закона Ома для участка цепи. Сила тока есть

      (8.10)

Последнее выражение есть закон Ома для участка цепи в дифференциальной форме.

Закон Ома для полной цепи. Для полной замкнутой цепи, содержащей источник, сила тока в цепи I прямо пропорциональна ЭДС источника ε и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи R + r

где R — внешнее сопротивление цепи, r — внутреннее сопротивление источника.

Закон Джоуля — Ленца. Количество теплоты Q, выделяемой в проводнике с током, прямо пропорционально квадрату силы тока I2, сопротивлению R проводника и времени t. С учетом закона Ома для участка цепи, закон Джоуля — Ленца можно записать тремя способами

Выведем закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

далее разделим обе части получившегося уравнения на dV · dt и получим

где  — удельная тепловая мощность тока.

Параллельное соединение проводников. Вам, наверное, хорошо известно, что существует два типа соединения проводников: параллельное и последовательное. Здесь лишь вспомним правила, по которым рассчитываются сила тока, напряжение, сопротивление и электроемкость при различных типах соединения.

При параллельном соединении

   (8.11)

Поскольку на параллельных участках проводников напряжение одинаковое, то для измерения напряжения на участке цепи вольтметр к этому участку подключают параллельно.

Последовательное соединение проводников.

  (8.12)

На последовательных участках цепи одинакова сила тока, следовательно, для ее измерения амперметр подключают в цепь последовательно.

Часто вместо описанных выше правил удобнее использовать правила Кирхгофа.

Правила Кирхгофа для разветвленных электрических цепей. По сути дела, они являются обобщением сказанного выше.

  • Первое правило: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:
  • Второе правило (обобщенный закон Ома): алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС:

При применении законов Кирхгофа необходимо учитывать знаки для силы тока I и ЭДС . Чтобы разобраться в этом детальнее, разберем примеры.

Примеры

Пример 1. На рисунке 8.14 изображена разветвленная электрическая цепь. Первое правило Кирхгофа: возьмем для рассмотрения узел a; токи, втекающие в этот узел, возьмем со знаком «плюс», вытекающие — со знаком «минус». Можно сделать и наоборот, результат от этого не изменится. Тогда применение правила к узлу a даст алгебраическую сумму

I2 + I3I1 = 0 или, что то же самое, I1 = I2 + I3.

Последнее чаще звучит так: «сумма токов втекающих равна сумме токов вытекающих из узла».

Рис. 8.14. Разветвленная электрическая цепь

Пример 2. Второе правило Кирхгофа. На рисунке 8.14 можно найти три независимых контура: abcda, adefa и abcdefa. Стрелкой изображено направление обхода. Другими словами, это — направление оси. Естественно, что выбор направления обхода никак не повлияет на результат. Для контура abcda на резисторе R1 сила тока + I1 совпадает с направлением обхода, поэтому берется с «плюсом». На резисторе R2 сила тока + I2 также совпадает с направлением обхода. Источник постоянного тока с  обходится «от плюса к минусу», поэтому берется с минусом, источник  — аналогично. Окончательно получим

Для контура adefa по тем же соображениям:

А теперь проверьте себя на контуре abcdefa.

Верный результат:

Пример 3. Дано: на рисунке 8.15 изображена схема, состоящая из источника постоянного тока, трех резисторов и вольтметра. Сопротивления резисторов известны и равны соответственно R1, R2, R3. Внутренние сопротивления вольтметра и источника равны — rv и r. ЭДС источника — . Определить показания вольтметра U.

Рис. 8.15. Иллюстрация к задаче

Решение: из закона Ома для участка цепи следует, что искомое нами напряжение на вольтметре

                                    (1)

Из закона Кирхгофа следует, что Iv = I1I23, где токи I1 и I23 можно определить законом Кирхгофа

        (2)

Подставив (2) в выражение (1), получим

Преобразуем последнее выражение к виду

        (3)

Для удобства преобразуем выражение в скобках в левой части последнего равенства

и, подставив последнее в (3), выразим искомое напряжение на вольтметре


Важно запомнить

  1. Сила тока:  (в дифференциальном виде
  2. Плотность тока:
  3. Электродвижущая сила:
  4. Напряжение:
  5. Закон Ома: для участка цепи в дифференциальной форме для полной цепи
  6. Закон Джоуля — Ленца:
  7. Правила Кирхгофа:
Последнее изменение: четверг, 15 Сентябрь 2016, 16:48