Магнитное поле может быть создано, например, при помощи постоянного или переменного магнита или проводником, по которому течет ток. Проявляет себя магнитное поле иначе, чем электростатическое: оно действует только на движущуюся частицу с силой, которую называют силой Лоренца. Величину и направление этой силы мы научимся определять позднее.

Электромагнитное поле. Под таким полем подразумевается взаимосвязанная комбинация электрического и магнитного полей. Заметим, что если в одной точке пространства одновременно присутствуют электрическое и магнитное поля, то это вовсе не значит, что их сумма даст поле электромагнитное. Очевидно, что пространство вокруг нас буквально пронизано электромагнитными волнами, например, с огромной скоростью проносятся потоки электромагнитных волн, несущих информацию с мобильных телефонов, радиоприемников, телевизоров и т.д. Распространяется электромагнитная волна только там, где присутствует электромагнитное поле.

Сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы и в общем случае определяется векторным произведением

   (9.1)

где E — напряженность электрического поля; Bиндукция магнитного поля (магнитная индукция). Сила Лоренца, записанная в такой форме, состоит из двух компонент, одна из которых (F = qE) есть сила электростатического взаимодействия (сила Кулона), другая (F = qvB) — магнитная сила. Как правило, магнитная сила значительно превосходит силу электростатическую по величине, поэтому выражение для силы чаще записывают в форме

   (9.2)

Последняя форма записи является векторным произведением, поэтому направление силы Лоренца определяется правилом правой руки, которое было разобрано ранее.

Пример определения направления силы Лоренца (рис. 9.1, а)

Индукция магнитного поля (B) направлена внутрь плоскости рисунка, скорость частицы (v) — направо для читателя. В этом случае сила Лоренца, согласно правилу правой руки, направлена вверх для положительной частицы (F1) и вниз — для отрицательной (F2). Направление силы F2 противоположно направлению F1, поскольку при подстановке в выражение (9.2) вместо заряда q отрицательное значение – q, получим противоположное направление силы F2.

Рис. 9.1. Направление силы Лоренца


Сила Лоренца действует только на движущуюся заряженную частицу, так как, если частица неподвижна, т.е. ее скорость равна нулю (v = 0), то согласно (9.2) сила Лоренца также равна нулю (FЛ = 0). Действие силы Лоренца приводит к тому, что траектория заряженной частицы, движущейся перпендикулярно линиям индукции магнитного поля, начинает под действием этой силы закручиваться в окружность (рис. 9.1, б). Данное явление происходит вследствие того, что направление силы Лоренца всегда перпендикулярно скорости частицы. Под действием силы Лоренца направление скорости частицы меняется, а вслед за ней меняется и направление самой силы Лоренца. Таким образом, положительно заряженная частица закручивается по часовой стрелке, отрицательно заряженная — против, что легко проверяется правилом правой руки.

Пример с произвольным расположением скорости частицы v и индукции магнитного поля B (не перпендикулярных друг другу) аналогичен рассмотренному нами выше при изучении вращательного движения тел. При таком движении траектория заряженной частицы также будет закручиваться в окружность, однако продольная компонента скорости при этом останется неизменной, а в результате сложения скоростей траекторией частицы станет спираль (рис. 9.1, в).

Силу Лоренца в скалярной форме можно записать как

Разберем более детально понятие магнитная индукция (индукция магнитного поля).

Магнитная индукция (индукция магнитного поля). Магнитное поле, как и любое другое, имеет определенную величину и направление. Эта величина, характеризующая значение и направление магнитного поля, называется магнитной индукцией. Встречаются и другие названия — индукция магнитного поля или вектор индукции магнитного поля, поскольку индукция — величина векторная Единица измерения магнитной индукции:

  • в системе СИ — [B] = Тл (Тесла),
  • в системе СГС — [B] = Гс (Гаусс),
  • 1 Тл = 104 Гс.

Определение величины магнитной индукции обсудим чуть позже. Разберем ее направление. Для удобства рассмотрим несколько примеров.

Примеры

Пример 1. Поле линейного проводника с током: направление магнитной индукции определяется правилом буравчика: если вкручивать буравчик таким образом, чтобы он перемещался в направлении электрического тока (I), то направление вращения рукоятки буравчика будет совпадать с направлением вектора магнитной индукции (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Направление магнитной индукции линейного проводника

Пример 2. Поле кругового витка с током: в этом случае направление магнитной индукции определяется тем же способом — правилом буравчика. Однако, форма поля кругового витка с током иная (рис. 9.3, а). На этом рисунке магнитная индукция изображена в двух разных плоскостях.

Рис. 9.3. Направление магнитной индукции:

а) кругового витка и б) соленоида

Пример 3. Поле соленоида: соленоид представляет собой катушку, на которую намотан проводник. Аналогично предыдущим случаям, направление вектора индукции магнитного поля определяется правилом буравчика. Соленоид можно рассматривать как совокупность большого количества круговых витков с током. Следовательно, магнитное поле соленоида есть результат суперпозиции полей, созданных отдельными витками (рис. 6.31, б).

Пример 4. Поле тороида: тороид представляет собой соленоид, замкнутый в кольцо (рис. 6.32). Направление магнитной индукции определяется аналогичным способом (см. рис. 6.32).

6.32.jpg

Рис. 9.4. Направление магнитной индукции тороида


Напряженность магнитного поля, так же как магнитная индукция, есть вектор, характеризующий направление и значение магнитного поля

        (9.3)

где B — магнитная индукция, μ — магнитная проницаемость среды, μ0 = 4π · 10–7 Гн/м — магнитная постоянная. Выражение (9.3) совместно с выражением для индукции электрического поля называют материальными уравнениями. Минимальное значение μ = 1 магнитная проницаемость принимает в воздухе и вакууме (аналогично диэлектрической проницаемости).

Напряженность магнитного поля H можно рассматривать скорее как вспомогательную величину, хотя рассчитать ее проще, в этом и состоит ее ценность. В вакууме направление напряженности магнитного поля совпадает с направлением магнитной индукции, но отличается от нее на коэффициент (9.3). Однако, в магнитных средах напряженность магнитного поля имеет физический смысл «внешнего» поля, т.е. совпадает с таким вектором магнитной индукции, какой «был бы, если бы магнетика не было». Единица измерения напряженности магнитного поля:

  • в системе СИ — [H] = А/м,
  • в системе СГС — [H] = Э (Эрстед),
  • 1 Э = 1000/(4π) А/м.

Сила Ампера (закон Ампера). На проводник с током, помещенный в магнитное поле, со стороны этого поля будет действовать сила Ампера по закону Ампера

    (9.4)

Здесь l — длина проводника, I — сила тока в нем, B — магнитная индукция. Направление силы Ампера определяется, как уже говорилось, по правилу правой руки (как для любого векторного произведения). Скалярная форма закона Ампера выглядит следующим образом

Действие силы Ампера на проводник с током. Разберем примеры, позволяющие научиться определять направление силы Ампера.

Примеры

Пример 5. Два параллельных проводника с током: если по параллельным проводникам ток идет в одном направлении, то они называются одноименными токами (рис. 9.5, а). Проводник №1 создает вокруг себя магнитное поле B1, направление которого можно найти по правилу буравчика. Таким образом, в точке, где находится проводник №2, существует магнитное поле B1, созданное проводником №1. Следовательно, на проводник №2 со стороны поля B1 будет действовать сила Ампера F12, направление которой находится по правилу правой руки (см. рис. 9.5, а).

Рис. 9.5. Параллельные проводники с током:

а) одноименные токи, б) разноименные токи

Аналогично, проводник №2 создает вокруг в точке нахождения проводника №1 магнитное поле B2, которое действует на проводник №1 с силой Ампера F21, направленной так, как показано на рисунке 9.5, а.

В итоге получим, что два одноименных тока притягиваются друг к другу.

Если по проводникам токи текут в противоположных направлениях (разноименные токи), то аналогичным способом мы получим вывод, что разноименные токи отталкиваются друг от друга (рис. 9.5, б).

Сила магнитного взаимодействия параллельных проводников с токами I1, I2 определяется законом Био — Савара — Лапласа (см. далее) и равна

где r — расстояние между проводниками,

Пример 6. Прямоугольная рамка в магнитном поле: рассмотрим поведение рамки с током, находящейся в магнитном поле, созданном постоянным магнитом (рис. 9.6). Для удобства рассуждений возьмем прямоугольную рамку. Ее можно рассматривать как совокупность четырех разных проводников (четырех сторон прямоугольника). На каждую из сторон со стороны магнитного поля будет действовать сила Лоренца, направление которой находится по правилу правой руки. В результате, оценив направления всех четырех сил, действующих на четыре стороны рамки, получим, что действие сил приведет к повороту рамки на некоторый угол, не превышающий 180°. Вращение рамки прекратится, как только ее плоскость окажется параллельной плоскости магнитов (см. рис. 9.6).

Рис. 9.6. Вращение рамки с током в магнитном поле


На описанном явлении основано действие стрелочного амперметра. Если рамку соединить со стрелкой амперметра, то стрелка вместе с рамкой будет отклоняться в магнитном поле силой Ампера на некоторый угол. Причем, согласно закону Ампера (9.4), сила Ампера тем больше, чем больше сила тока, следовательно, и угол отклонения стрелки пропорционален силе тока в цепи.

Тот же принцип действия используется в электродвигателях. Однако, для того чтобы рамка вращалась непрерывно, а не поворачивалась на некоторый угол, необходимо дважды за период менять направление силы Ампера. Для этого либо используют переменный ток в рамке при постоянном магнитном поле (электродвигатель — двигатель переменного тока), либо переменное магнитное поле при постоянном токе в рамке (электродвигатель постоянного тока).

Сила Ампера или сила Лоренца? Давайте задумаемся, в чем отличие силы Ампера от силы Лоренца? По определениям, сила Лоренца действует со стороны магнитного поля на отдельный движущийся заряд, а сила Ампера — на проводник с током. Но ведь электрический ток — это и есть совокупность движущихся отдельных зарядов. Попробуем для ответа воспользоваться математическими выкладками. Сила Ампера в скалярной форме есть

Выходит, что сила Ампера и сила Лоренца — суть одно и то же? Ответ прост. Если под силой Лоренца мы будем подразумевать силу из выражения (6.14) и не станем учитывать электростатическую компоненту силы Лоренца из выражения (6.13), то речь идет об одной и той же силе. В более общем случае две этих силы не равны. Таким образом, можно сказать, что сила Ампера есть проявление силы Лоренца.

Возникает вопрос: известно, что два одноименных заряда отталкиваются друг от друга, а два одноименных тока — притягиваются. Нет ли тут противоречия? Ведь два одноименных тока — это совокупность большого числа движущихся параллельно одноименных зарядов, которые должны отталкиваться, а не притягиваться. Попробуйте найти ответ на этот вопрос самостоятельно.

Ранее было обговорено о том, как определяется направление магнитной индукции. Теперь обсудим, как определить ее величину (модуль). Это позволяет сделать закон Био — Савара — Лапласа.

Закон Био — Савара — Лапласа. Напряженность магнитного поля, созданного проводником с током в любой точке пространства определяется законом Био — Савара — Лапласа

           (9.5)

где r — расстояние от элемента тока  до точки, в которой находится напряженность; α — угол между векторами  и Последнее выражение дает возможность определить напряженность магнитного поля в некоторой точке пространства только в том случае, если оно создано элементом тока Idl. Если же необходимо рассчитать, например, магнитную индукцию, созданную участком проводника от точки l1 до точки l2, то придется выполнить следующее математическое действие

Пропустив некоторые математические выкладки, приведем несколько готовых формул, полученных из закона Био — Савара — Лапласа, для определения напряженности магнитного поля, созданного некоторыми проводниками.

  • Магнитное поле в центре кругового витка с током определяется следующим образом:

, где R — радиус витка.

  • Магнитное поле в любой точке на оси кругового витка с током:

, где a — расстояние от центра витка до точки на его оси.

  • Магнитное поле на оси соленоида:

где n = N/l — плотность намотки, т.е. число витков N на единицу длины соленоида l.

  • Магнитное поле на оси тороида:

где R, r — внешний и внутренний радиусы тороида соответственно.

  • Магнитное поле прямолинейного проводника с током:

где a — кратчайшее расстояние от точки измерения напряженности до проводника, α1 и α2 — углы, под которыми из точки наблюдения видны концы проводника.

  • Магнитное поле бесконечного прямолинейного проводника:

  • Магнитное поле на оси прямоугольного контура с током:

где a и b — линейные размеры контура.

Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля. Мы уже говорили об этой теореме применительно к потоку вектора напряженности электрического поля (6.4). Теперь рассмотрим поток магнитной индукции (магнитный поток).

Магнитный поток через любую поверхность S есть

Если говорить о замкнутой поверхности S, то магнитный поток

    (9.6)

С использованием введенных понятий теорема Остроградского — Гаусса для магнитного тока выглядит так

    (9.7)

т.е. магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю. Это означает, что:

  • не существует в природе «магнитных зарядов», подобных электрическим (это следует из сравнения теорем в форме (6.19) и (6.4). В последней сумма электрических зарядов отлична от нуля, сумма же «магнитных зарядов» из (6.19) равна нулю, следовательно, их не существует);
  • магнитное поле имеет вихревой характер (поскольку линии напряженности электрического поля начинаются на электрических «плюсах» и заканчиваются на «минусах», магнитный поток должен вести себя аналогично: начинаться на «магнитных плюсах», заканчиваться на «магнитных минусах», но последних не существует, значит, линии магнитной индукции замкнуты сами на себя, т.е. имеют вихревой характер).

Пример решения задачи

Дано: металлический проводник с током I изогнут под прямым углом (рис. 6.35). Найти напряженность магнитного поля H в точке C, лежащей на биссектрисе этого угла на расстоянии a от угла.

Рис. 9.7. Иллюстрация к задаче

Решение: результирующая напряженность магнитного поля в точке C равна векторной сумме напряженностей, созданных двумя линейными отрезками. Определим направления этих напряженностей. Поскольку оба вектора направлены в одну сторону, то их векторная сумма равна сумме скалярной: H = H1 + H2. По закону Био — Савара — Лапласа

         (1)

Выразим r и dl через угол α:

где Теперь можно преобразовать интеграл

Последнее выражение подставим в (1)

Окончательно

Магнитный момент контура с током равен

где S — площадь контура,  — единичный вектор нормали к плоскости контура, направление  определяют по правилу буравчика.

Вращающий момент, который действует на контур с током в магнитном поле, равен

где pm = IS — магнитный момент контура, B — индукция магнитного поля, α — угол между векторами  и

Закон полного тока (теорема о циркуляции напряженности магнитного поля): циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру () равна сумме токов (полному току) внутри этого контура.

     (9.8)

где Hl — проекция вектора  на касательную в данной точке контура; dl — элемент контура в окрестности этой точки.

Важно запомнить

  1. Сила Лоренца:
  2. Напряженность магнитного поля:
  3. Сила Ампера (закон Ампера):
  4. Закон Био — Савара — Лапласа: 
  5. Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля: 
  6. Магнитный момент контура с током:
  7. Вращающий момент:
  8. Закон полного тока (теорема о циркуляции напряженности магнитного поля):
Последнее изменение: четверг, 15 Сентябрь 2016, 18:34