9.6. Электромагнитные колебания. Переменный ток. Электромагнитные волны

Известно, что для возникновения постоянного тока необходима разность потенциалов (напряженность), для возбуждения переменного — необходим колебательный контур.

Колебательный контур состоит из конденсатора C, катушки индуктивности L и активного сопротивления R. Последнего может и не быть, поскольку любые соединительные провода всегда играют роль активного сопротивления. В таком контуре возбуждается переменный ток (электромагнитные колебания). В зависимости от того, соединены катушка индуктивности и конденсатор параллельно или последовательно, колебательный контур называют параллельным или последовательным (рис. 9.19).

Рис. 9.19. Колебательный контур:

а) последовательный; б) параллельный

Разберем детальнее, в чем разница между контуром последовательным и параллельным. На рисунке 9.19, б показано: в цепь включен генератор переменного тока, в схеме последовательного контура (рис. 9.19, а) генератор отсутствует. Но не в этом главное отличие. Отсутствие генератора в цепи говорит лишь о том, что возникающие в таком контуре электромагнитные колебания будут затухающими. Для того, чтобы затухания не происходило, в цепь включают генератор, который поддерживает амплитуду колебаний на постоянном уровне и затухания не происходит. Можно включить в контур (см. рис. 9.19, а) генератор последовательно, тогда контур остался бы последовательным, т.к. катушка индуктивности и конденсатор соединены последовательно. На последовательных участках цепи сила тока одинаковая, а напряжение суммируется. В параллельном контуре (см. рис. 9.19, б) катушка и конденсатор расположены параллельно, поскольку при таком подключении напряжения на них одинаковые, а токи суммируются.

Попробуем разобраться с механизмом возникновения электромагнитных колебаний. Поскольку этот механизм очень похож на обычные механические колебания, то для сравнения приведем здесь оба процесса.

Итак, конденсатор заряжают до максимального значения. Энергия электрического поля конденсатора в этот момент максимальна и равна W = q2/2C. (рис. 9.20). Заряд конденсатора максимален, а сила тока в цепи равна нулю (см. рис. 9.20, кривые). Ситуация подобна математическому маятнику, отведенному в сторону на максимальное расстояние, — запас потенциальной энергии у маятника максимален, кинетической — равен нулю, т.к. нулю равна скорость (см. рис. 9.20, а).

Рис. 9.20. Механизм возникновения электромагнитных колебаний

Далее конденсатор начинает разряжаться (см. рис. 9.20, б), заряд его уменьшается до нуля, сила тока возрастает до максимума. Энергия конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки W = LI2/2. Математический маятник в этот момент находится в вертикальном положении с максимальной кинетической энергией и нулевой потенциальной.

Вследствие электромагнитной индукции Фарадея в катушке возбуждается индукционный ток, направление которого, согласно правилу Ленца, противоположно первичному (см. рис. 9.20, в). Энергия магнитного поля катушки падает до нуля и переходит в энергию электрического поля конденсатора. Конденсатор перезаряжается, а математический маятник находится в крайнем правом положении. В заключительной четверти периода система возвращается в исходное состояние (см. рис. 9.20, г).

Повторим, что электромагнитные колебания описываются теми же самыми законами, что и колебания механические, а величины, описывающие оба вида колебаний, подобны. Сравните самостоятельно (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Сравнение электромагнитных и механических колебаний

Электромагнитные колебания

Механические колебания

Заряд конденсатора

q(t)

Координата

x(t)

Ток в цепи

I = dq/dt

Скорость

v = dx/dt

Индуктивность

L

Масса

m

Электроемкость–1

1/C

Жесткость

k

Напряжение на конденсаторе

U = q/C

Сила упругости

kx

Энергия электрического поля конденсатора

q2/2C

Потенциальная энергия пружины

kx2/2

Энергия магнитного поля катушки

LI2/2

Кинетическая энергия

mv2/2

Магнитный поток

LI

Импульс

mv

В таблице 9.1 приведены не просто схожие по внешнему виду формулы. Схожие физические величины подобны друг другу и по своему проявлению. Сравним, например, индуктивность L и массу m. Известно, что масса в механике — мера инертности тела, т.е. величина, которая показывает, насколько быстро тело может набирать или терять скорость. Большая масса — большая инертность, такое тело трудно быстро разогнать, трудно быстро остановить. Наоборот, малая масса значит, что тело легко разогнать или остановить.

Следовательно, индуктивность — такая же мера инертности электрического контура, как масса в механике. Большая индуктивность означает большую инертность контура, следовательно, контур медленно набирает ток и медленно его теряет (ведь скорость в механике аналогична силе тока в электричестве, см. табл. 9.1).

Для подтверждения сравним емкость конденсатора и жесткость пружины. Жесткость сказывается на периоде колебаний груза на пружине (вспомним: Величина же, обратная электроемкости (C–1), аналогичной зависимостью связана с периодом электромагнитных колебаний в контуре. Эта зависимость известна как формула Томсона.

Формула Томсона

Таким образом, мы видим, что физические закономерности всегда одинаковы, независимо от того, применяются они к механическим явлениям, к электромагнитным или каким-либо другим.

В качестве самостоятельной работы попробуйте понять связь всех остальных величин в таблице 9.1 (1. заряд конденсатора — координата; 2. напряжение на конденсаторе — сила упругости; 3. энергия электрического поля конденсатора — потенциальная энергия пружины; 4. энергия магнитного поля катушки — кинетическая энергия; 5. магнитный поток — импульс.) Число полученных ответов будет равно вашей наиболее вероятной оценке на экзамене по физике.

Уравнение электромагнитных колебаний. Если мы разобрались с предыдущим абзацем, то нам не составит труда сразу записать уравнение электромагнитных колебаний. Выведем это уравнение, основываясь на законе Ома для полной цепи. Будем считать, что затухание в контуре отсутствует, что возможно только при отсутствии активного сопротивления (R = 0). Запишем закон Ома в следующем виде

Считая, что R = 0, Δφ = – q/C (по определению), ε = – L \(dI/dt) (закон Фарадея) и подставляя все в исходный закон Ома, получим

Не забываем, что по определению сила тока есть следовательно,  и, разделив обе части последнего уравнения на L, получим

.

Воспользуемся формулой Томсона для периода электромагнитных колебаний (), тогда уравнение электромагнитных колебаний примет вид

      (9.12)

где  — частота собственных колебаний контура (собственная частота).

Сравним уравнение колебаний материальной точки (2.3) и уравнение электромагнитных колебаний (9.12). Как уже было упомянуто, зная первое, легко можно было бы записать и второе, с учетом табл. 9.1. Решением последнего уравнения (9.12), по аналогии с (2.2), является любая периодическая функция, например, такая:

где qm — амплитуда значения заряда (максимальное отклонение). График последней функции изображен на рисунке 9.21.

Рис. 9.21. Переменный электрический ток

На рисунке 9.21 показана зависимость силы тока (заряда) от времени. Зависимость напряжения от времени также будет периодической функцией, однако вид ее несколько отличен от вида кривой на рисунке 9.21.

Напряжение на конденсаторе является периодической функцией, следовательно, ее можно выразить как, например

Сила тока на конденсаторе выражается как

Таким образом, мы получили, что напряжение на конденсаторе отстает от силы тока на конденсаторе на π/2 (либо сила тока опережает напряжение на π/2). Аналогичными будут рассуждения, если рассматривать напряжение на катушке индуктивности.

Напряжение на катушке индуктивности

Считая, что сила тока в катушке индуктивности есть

можно сделать вывод, что напряжение на катушке индуктивности опережает силу тока на катушке на π/2 (или сила тока отстает на π/2 от напряжения).

С учетом разности фаз между током и напряжением для нахождения результирующего напряжения в последовательном колебательном контуре удобно использовать метод векторных диаграмм.

Метод векторных диаграмм. В последовательном колебательном контуре сила тока (I) на всех участках одинакова по направлению и фазе. На векторной диаграмме ее направляют вдоль горизонтальной оси (рис. 9.22).

Рис. 9.22. Метод векторных диаграмм

Напряжение на активном сопротивлении (UR) совпадает по фазе с силой тока, следовательно, его изображают вдоль направления силы тока (см. рис. 9.22). Напряжение на конденсаторе (UC), как мы уже знаем, отстает от силы тока на π/2, следовательно, его изображают под этим углом к силе тока. Напряжение на катушке индуктивности (UL) опережает силу тока на π/2 (см. рис. 9.22). Результирующее напряжение последовательного контура определяется как векторная сумма трех векторов:

Заметим, что здесь мы говорим лишь о фазе результирующего напряжения. Абсолютное же его значение можно определить по теореме Пифагора:

Теперь самостоятельно попробуйте ответить на вопрос: можно ли методом векторных диаграмм определить результирующее напряжение в параллельном колебательном контуре? Если «да», то как; если «нет», то почему? Если вы смогли ответить на этот вопрос, то можете смело читать этот параграф дальше.

Затухающие колебания. До этого момента мы рассматривали лишь незатухающие колебания. Они возможны лишь в случаях, когда активное сопротивление цепи стремится к нулю, либо в цепь включен генератор, который поддерживает амплитуду колебаний постоянной. Во всех же остальных случаях колебания будут затухающими (рис. 9.23).

Рис. 9.23. Затухающие колебания

Буквой τ на графике обозначено время релаксации, т.е. время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз. График затухающей функции (см. рис. 6.51) описывается уравнением

где δ — декремент затухания (коэффициент затухания). Декремент затухания определяется как

Часто также используют такое понятие, как логарифмический декремент затухания, который равен логарифму отношения соседних амплитуд

где Ne — число колебаний, совершенное за время релаксации τ.

Для характеристики колебательного контура важное значение имеет такая физическая величина, как добротность.

Добротность контура

Из последней формулы следует, что добротность обратно пропорциональна декременту затухания. Это означает, что чем сильнее затухание в контуре, тем ниже его добротность, и наоборот. Можно дать и более строгое определение добротности: это есть отношение энергии, запасенной в контуре, к энергии, теряемой за один период колебаний.

Для последовательного колебательного контура

для параллельного контура

Резонанс токов. Резонанс напряжений. С понятием резонанса мы уже сталкивались при изучении механических колебаний частиц. В данном же параграфе под резонансом понимают почти то же самое.

Период собственных колебаний контура T (а, следовательно, и собственная частота колебаний контура ω0) определяется параметрами контура (R, L, C) и находится по формуле Томсона. Однако, если в цепь включен генератор переменного тока, то его частота ω может не совпадать с собственной частотой контура ω0. В случае, если эти частоты близки друг другу ω ≈ ω0, амплитуда колебаний в цепи резко возрастает, при несовпадении частот — падает. Это явление называется резонанс. График этого процесса называется резонансной кривой (рис. 9.24).

Рис. 9.24. Резонансные кривые при различных добротностях:

Q3 > Q2 > Q1

Здесь приведены три резонансные кривые для трех контуров с разными добротностями. Как следует из рисунка 9.24, контур с большей добротностью имеет более узкую и высокую резонансную кривую и наоборот: резонансная кривая контура с меньшей добротностью ниже и шире. Но ширина резонансной кривой разная на разных высотах. Поэтому под шириной резонансной кривой понимают ее ширину на высоте 0,7 от максимума. Почему именно 0,7, станет ясно чуть позже.

Таким образом, добротность можно определить как

где Δω — ширина резонансной кривой.

Но вернемся к основной теме — резонансу токов и напряжений. В последовательном колебательном контуре суммарное напряжение во всей цепи есть сумма напряжений на отдельных ее участках, т.е. напряжение на катушке плюс напряжение на конденсаторе плюс напряжение на резисторе. В результате суммарная амплитуда напряжения может быть больше, чем амплитуда напряжения генератора. Это и есть резонанс напряжений — резкое возрастание амплитуды колебаний напряжения. Поскольку резонанс напряжений возможен только в последовательном контуре, то его также называют последовательным резонансом.

В параллельном колебательном контуре суммируется ток на элементах и результирующая сила тока во всей цепи может превосходить амплитуду силы тока генератора. Это — резонанс токов, или параллельный резонанс.

Очевидно, что для возникновения как последовательного, так и параллельного резонанса частота генератора должна совпадать с собственной частотой контура. Кроме того, существенный резонанс возможен только в контуре с очень хорошей добротностью.

Мощность тока. В случае цепей переменного тока мощность тока определяется по уже знакомой нам формуле: P = UI. Однако следует учесть, что как на конденсаторе, так и на катушке индуктивности сила тока и напряжение отличаются по фазе на π/2. Это означает, что в тот момент времени, когда сила тока максимальна, напряжение равно нулю, и наоборот. Следовательно, мощность тока также равна нулю. Получается, что для расчета мощности тока нельзя использовать амплитудные значения тока и напряжения. Нельзя использовать и средние значения тока и напряжения, поскольку среднее от функции синуса и косинуса также есть ноль.

Для определения мощности тока используют амплитудные (максимальные) значения тока и напряжения, но взятые в разные моменты времени (со сдвигом π/2), чтобы их произведение не стало равным нулю. Затем полученное произведение делят пополам, чтобы получить среднюю мощность, а не амплитудное ее значение. Проще это выражается так

Но последнее выражение нельзя считать корректным (хотя оно и дает верный результат), поскольку входящие в него сила тока и напряжение относятся к разным моментам времени. И для того, чтобы поставить окончательную точку в вопросе о том, какие же именно значения силы тока и напряжения нужно брать для расчета мощности тока, чтобы мощность при этом оставалась произведением силы тока на напряжение, делают так

где  — эффективные значения тока и напряжения соответственно. Есть и более простые объяснения для мощности. Например, такое

где φ — сдвиг фаз между током и напряжением. Но, согласимся, что предыдущее — более красивое и «физичное».

Задумывались ли вы над вопросом, какое именно значение показывает нам амперметр или вольтметр, подключенный в цепь переменного тока? Точно, не среднее, оно равно нулю. И вряд ли амплитудное. Думаю, вы уже догадались, что и вольтметр, и амперметр в цепи переменного тока показывает нам именно эффективные значения тока и напряжения.

А теперь самое время вернуться к загадочному числу 0,7, которое мы встретили при определении ширины резонансной кривой. Все дело в том, что

т.е. ширина резонансной кривой определяется на такой высоте, на которой сила тока и напряжение в цепи принимают эффективные значения (на высоте средней мощности). И эта высота приблизительно равна 0,7 от максимума.

Импеданс. Мы уже много говорили о силе тока и напряжении в цепи переменного тока, однако почти не упоминали понятие сопротивления. Из закона Ома для участка цепи следует, что сопротивление есть отношение напряжения к силе тока. Это верно лишь в случае постоянного тока. В случае переменного тока такое отношение не будет константой, следовательно, сопротивление проводника выражать нужно по-другому. Такое выражение для полного сопротивления в цепи переменного тока называют импедансом.

Колебательный контур состоит, как правило, из трех основных элементов. Сопротивление резистора и соединительных проводников (R) называют активным сопротивлением. Это сопротивление постоянно и не зависит от частоты контура.

Сопротивление катушки индуктивности называют реактивным индуктивным сопротивлением; оно зависит от частоты контура ω и выражается формулой

Сопротивление конденсатора (реактивное емкостное сопротивление) также зависит от частоты контура и выражается как

Для последовательного контура импеданс определяется выражением

Данное выражение получается из метода векторных диаграмм. В последовательной цепи общее сопротивление равно сумме сопротивлений на отдельных участках, вот эту сумму мы и находим с учетом сдвига фаз тока и напряжения. Величину же сдвига фазы напряжения относительно фазы тока в этом случае находят из формулы

Нетрудно догадаться, что для параллельного контура импеданс определяется выражением

а сдвиг фаз

Пример решения задачи

Дано: в цепь переменного тока включены последовательно катушка с индуктивностью L и два конденсатора емкостями C1 и C2. Частота такого контура — ν, напряжение в контуре — U, сопротивление соединительных проводников — R. Определить силу тока I.

Решение: закон Ома для участка цепи где импеданс

Суммарная емкость конденсаторов, соединенных последовательно, равна

Частота контура ω = 2πν. Подстановка в закон Ома дает


В 1821 г., после серии опытов, Майкл Фарадей опубликовал трактат «О некоторых новых электромагнитных движениях и о теории магнетизма», где показал, как заставить намагниченную стрелку непрерывно вращаться вокруг одного из магнитных полюсов. Эта конструкция представляла собой еще несовершенный, но вполне практичный электродвигатель, впервые в мире осуществивший непрерывное превращение электрической энергии в механическую. Имя Фарадея становится всемирно известным.

А чуть позже, в 1832 г., Фарадей предсказал существование электромагнитных волн.

Электромагнитная волна представляет собой взаимосвязанные колебания электрической и магнитной компонент поля. Эти колебания происходят с одной частотой и в одинаковой фазе, но во взаимно перпендикулярных плоскостях. Переменное электрическое поле на рисунке можно изобразить синусоидой, которая представляет собой огибающую концов вектора напряженности электрического поля. Аналогично в перпендикулярной плоскости изображается переменное магнитное поле (рис. 9.25).

Рис. 9.25. Электромагнитная волна

Скорость волны (скорость распространения колебаний векторов  и ) перпендикулярна плоскостям  и определяется выражением

,

где λ — длина волны, T, ν — период и частота колебаний векторов  соответственно.

Уравнение плоской электромагнитной волны вдоль оси x

где ω = 2πν; E — модуль вектора  в точке x в момент t, E0 — амплитуда волны.

Посмотрев на это уравнение, можно сделать вывод, что волновое число есть

Дважды дифференцируя уравнение плоской волны по времени (t) и дважды — по координате (x), получим уравнение волны в дифференциальной форме (волновое уравнение)

Плотность потока энергии электромагнитной волны (вектор Умова — Пойнтинга) определяет направление распространения энергии этой волны и совпадает с направлением скорости волны

и есть энергия, переносимая за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной скорости волны.

Объемная плотность энергии волны

где W — энергия в объеме V. C учетом взаимосвязи между векторами E и H

Последнее выражение можно записать в виде

Шкала электромагнитных волн. Разные электромагнитные волны отличаются друг от друга своей главной физической характеристикой — длиной волны (λ). Здесь следует заметить, что волны могут отличаться частотой (ν), но эта величина, обратная длине волны

где c — скорость распространения волны (в вакууме она равна скорости света).

В зависимости от длины волны разные волны имеют различные свойства, и по этим свойствам мы делим волны на группы. Они вам хорошо известны: низкочастотные волны (НЧ), радиоволны, инфракрасное излучение (ИК), видимый свет, ультрафиолетовое излучение (УФ), рентгеновские волны, α, β, γ — излучения. В этих группах есть и более мелкая градация. Например, радиоволны.

Радиоволны — это электромагнитные волны с длиной волны от 0,1 мм до 1010 м (рис. 9.26), которые, в свою очередь делятся на:

  • на λ = 1 ÷ 10 км — длинные волны;
  • на λ =100 ÷ 1000 м — средние волны;
  • на λ =10 ÷ 100 м — короткие волны;
  • на λ = 0,5 дм ÷ 10 м — ультракороткие волны.

Радиоволны используют в системах радиолокации, радиопередачи, беспроволочной телефонной связи и в телевидении.

Рис. 9.26. Шкала электромагнитных волн

Радиопередача и радиоприем состоят в преобразовании звуковых сигналов в электрические сигналы на радиостанции, передаче этих сигналов с помощью радиоволн и преобразовании электрических сигналов в звуковые в радиоприемнике. При этом на радиостанции происходит процесс наложения электрических колебаний звуковой частоты на высокочастотные колебания генератора (модуляция высокочастотных колебаний). Информацию несут только модулированные радиоволны. Для приема данной радиоволны λ колебательный L, C — контур радиоприемника должен быть настроен в резонанс с частотой νr для этой волны

Радиолокация — это обнаружение и измерение расстояния l до объекта на основе отражения радиоволн

где c — скорость радиоволны, Δt — время перемещения импульса радиоволны от радиолокационной станции до объекта и после отражения от объекта до станции; это время измеряют осциллографом.

В системе телевидения процесс передачи изображения состоит в преобразовании на телестанции оптического изображения в электрический сигнал (видеосигнал), в передаче этого сигнала с помощью дециметровых радиоволн до телевизора и в обратном преобразовании этого сигнала в оптическое изображение. При этом на телестанции изображение разбивается на элементы, угол зрения на соседние элементы меньше одной угловой минуты (что глаз не замечает). Для передачи изображения движущихся предметов изображение сменяется с частотой 25 Гц (время зрительной памяти глаза — 0,02 с), благодаря этому изображение передается последовательно по элементам путем развертки изображения по одному каналу связи. Применяют строчную развертку вдоль оси x и кадровую развертку вдоль оси y. За одну секунду меняется 25 кадров, каждый кадр содержит 625 строк.

Четкой границы между значениями частот (длин волн) этих групп нет. На рисунке 9.26 приведена шкала, по которой можно отнести электромагнитную волну к той или иной группе.

Важно запомнить

  1. Формула Томсона:
  2. Уравнение электромагнитных колебаний
  3. Декремент затухания:
  4. Добротность контура: для последовательного , для параллельного
  5. Импеданс:
  6. Уравнение плоской электромагнитной волны:
  7. Плотность потока энергии электромагнитной волны (вектор Умова — Пойнтинга):
  8. Объемная плотность энергии волны:
Последнее изменение: пятница, 16 Сентябрь 2016, 16:23