Во второй половине XIX века выдающийся британский ученый, Джеймс Максвелл, представил миру систему уравнений, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами. Эти уравнения сыграли ключевую роль в развитии представлений теоретической физики и оказали огромное влияние на всю физику в целом. Максвелл обобщил законы, полученные экспериментально, и разработал законченную теорию электромагнитного поля. Другими словами, Максвелл сделал то, чего не удавалось сделать никому ранее — он нашел взаимосвязь электрического и магнитного полей и выразил ее в виде системы уравнений, получивших название уравнения Максвелла.

Уравнения Максвелла. Была решена основная задача электродинамики: найти характеристики электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов. Максвелл обобщил теорему Остроградского — Гаусса, закон полного тока, закон электромагнитной индукции Фарадея и предложил теорию, которая позволила охватить огромный круг явлений, от электростатического поля неподвижного заряда до электромагнитной природы света. Благодаря Максвеллу, все эти явления теперь можно рассматривать с единой точки зрения.

Уравнения Максвелла можно записывать в нескольких системах единиц, в каждой из них вид уравнений свой. Сам автор записал их в системе СГС. Преимущество этой системы в том, что все поля в ней имеют одну размерность, а уравнения записываются проще. Поэтому СГС продолжает применяться в научных публикациях по электродинамике и в преподавании физики. В современной квантовой теории поля применяется система единиц, в которой скорость света, электрическая и магнитная постоянная принимаются равными единице (c = ε0 = μ0 = 1). В такой системе уравнения Максвелла записываются без коэффициентов, а все поля имеют единую размерность.

Однако для практических применений удобней использовать систему СИ, которая обычно используется в курсах общей физики. Именно в ней мы запишем уравнения Максвелла. Помимо этого, существует две формы записи системы. Мы разберем обе.

Уравнения Максвелла в интегральной форме.

  • Теорема Остроградского — Гаусса для электрического поля

Физический смысл этого выражения таков: поток электрической индукции

через произвольную замкнутую поверхность s равен суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности (q). Заметим, что похожее выражение мы уже встречали, когда говорили о теореме Остроградского — Гаусса для электрических полей (8.4).

Теорема о циркуляции магнитного поля. Выражение  

  • продифференцируем по времени. Получим

Если поверхность s — не деформируется, то справедливо

Далее вводится понятие тока смещения (Iсм) и плотности тока смещения (jсм = dIсм/dt). Ток смещения — это физическая величина, равная потоку вектора плотности тока смещения (jсм) сквозь поверхность s, он является источником вихревого магнитного поля. Можно сказать, что ток смещения — физическая величина, прямо пропорциональная скорости изменения электрической индукции. Строго говоря, ток смещения не является электрическим током, но измеряется в тех же единицах, что и электрический ток.

В природе можно выделить два вида токов: ток связанных зарядов и ток проводимости. Ток связанных зарядов — это перемещение средних положений связанных электронов и ядер, составляющих молекулу, относительно центра молекулы. Ток проводимости — это направленное движение зарядов на большие расстояния. Сумма тока связанных зарядов и быстроты изменения потока электрического поля была названа током смещения.

Считая, что ток смещения

и воспользовавшись законом полного тока (9.8), можно записать следующее уравнение Максвелла

Физический смысл последней записи в следующем: циркуляция вектора напряженности магнитного поля (H) по произвольному неподвижному контуру l равен алгебраической сумме тока проводимости и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур. Вспомним, что циркуляцией называется криволинейный интеграл по замкнутому контуру вида

  • Закон электромагнитной индукции Фарадея. Опираясь на закон Фарадея (9.10), можно записать

Физический смысл записанного выражения: циркуляция вектора напряженности электрического поля (E) по произвольному неподвижному замкнутому контуру l равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока через поверхность s, натянутую на этот контур.

  • Теорема Остроградского — Гаусса для магнитного поля (9.7) говорит об отсутствии в природе магнитных зарядов и формулируется так: магнитный поток через произвольную неподвижную замкнутую поверхность равен нулю

Таким образом, мы сформулировали четыре уравнения Максвелла. Теперь, добавив к ним так называемые материальные уравнения (8.3 и 9.3), можно записать систему уравнений Максвелла в интегральной форме

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Аналогично предыдущим, можно записать уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

  • Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля

где ρ = q/V — объемная плотность заряда, т.е. заряд, приходящийся на единицу объема. Последнее выражение читается так: дивергенция вектора индукции электрического поля равна объемной плотности заряда. Физический смысл этого уравнения такой же, как и аналогичного в интегральной форме. Можно сформулировать его следующим образом: электрический заряд является источником электрической индукции.

Здесь впервые в этом курсе встречается понятие дивергенции. Разберем его подробнее. Дивергенция — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Оператор дивергенции, примененный, например, к векторному полю , обозначают как  или , где  — оператор Лапласа. Например, в трехмерном декартовом пространстве дивергенция определяется выражением

Если изображать векторное поле стрелками (рис. 9.27), то ненулевая дивергенция показывает область, откуда стрелки расходятся (см. рис. 9.27, б, е).

Дивергенция может присутствовать в неявном виде. Например, если дивергенция не равна нулю, то векторное поле везде направлено в одну сторону и в этом направлении становится все сильнее и сильнее. Тогда, для обозначения линий поля их изображают стрелками все большей и большей длины.

Рис. 9.27. Ротор и дивергенция векторных полей

Можно сказать, что дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:

  •  — точка поля является источником (см. рис. 9.27, б),
  •  — точка поля является стоком (см. рис. 6.55, е),
  •  — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга (см. рис. 9.27, а).

Примером может служить озеро: родники, бьющие со дна озера, будут давать положительную дивергенцию поля скоростей течения, а подводные стоки — отрицательную дивергенцию.

  • Теорема о циркуляции магнитного поля

Читается выражение следующим образом: ротор вектора напряженности магнитного поля равен сумме токов смещения и проводимости. Физический смысл записи, помимо указанного для интегрального уравнения, можно сформулировать так: электрический ток и изменение электрической индукции порождают вихревое магнитное поле.

Теперь мы встретили понятие ротора, разберем его более подробно. Ротор (или вихрь) — это векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Его обозначают как rot или  (или ), где последнее — векторное произведение оператора набла () на функцию. Применительно к некоторой векторной функции  можно записать

Ненулевой ротор показывает, вокруг чего закручиваются линии векторного поля (см. рис. 9.27, а, д, е).

Ротор может присутствовать в неявном виде. Если ротор не равен нулю, то векторное поле везде направлено в одну сторону, но при этом в поперечном направлении становится все сильнее и сильнее. Если, выбрав прямоугольный контур, мы вычислим циркуляцию, то увидим, что две стороны контура не скомпенсированы, циркуляция не равна нулю, следовательно, присутствует ротор (вихрь).

Например, в смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор в центральной области. Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, то ротор на границе между полосами был бы ненулевым.

  • Закон электромагнитной индукции Фарадея

Ротор напряженности электрического поля равен скорости изменения магнитного потока — т.е. изменение магнитной индукции порождает вихревое электрическое поле.

  • Теорема ОстроградскогоГаусса для магнитного поля

Дивергенция вектора магнитной индукции равна нулю — т.е. не существует магнитных зарядов.

Итак, запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме

Волновое уравнение. В общем случае, волновое уравнение описывает поведение любой волны. Для электромагнитных волн его можно получить из уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Для электромагнитной волны, распространяющейся вдоль оси x, уравнения можно переписать в дифференциальной форме

Дифференцируя первое уравнение по t, второе — по x и исключив H, получим волновое уравнение для электромагнитной волны (волны вектора ) вдоль оси x

в котором множитель в правой части равен квадрату скорости волны, поэтому

Последнее соотношение называется законом Максвелла, оно выражает связь между скоростью электромагнитной волны и параметрами среды ε, μ.

Для вакуума ε = 1, μ = 1, поэтому

Так как ε0 = 8,85 · 10–12 Ф/м, μ0 =4π · 10–7 Гн/м, то из последнего выражения следует, что c = 3 · 108 м/с.

Важно запомнить

  1. Система уравнений Максвелла в интегральной форме:
  2. Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме:
  3. Волновое уравнение:
Последнее изменение: пятница, 16 Сентябрь 2016, 17:06