10.1. Геометрическая оптика

В целом, оптику как раздел физики можно представить в двух частях: геометрическая и волновая. Геометрическая рассматривает световую волну как вектор, луч, который распространяется, отражается, преломляется исключительно по законам геометрии. Следовательно, и оптика называется геометрической. И задачи, которые решает эта часть оптики — геометрические. Волновая же рассматривает свет как волну и дает объяснение явлениям, свойственным для волн.

Закон прямолинейного распространения света. В однородной среде свет всегда распространяется прямолинейно. Обратим внимание на понятие «в однородной». Если среда не однородна, т.е. плотность ее в разных точках разная, то вследствие преломления луч света может менять свое направление. Может быть, вы слышали (или даже видели) явление под названием мираж, которое возникает именно вследствие сильной неоднородности воздуха вблизи поверхности Земли при высоких температурах и луч света приходит к нам не оттуда, откуда кажется. То есть объект мы видит совсем не там, где он в действительности находится.

Существует также и не менее интересный эффект, связанный с искривлением световых лучей. Это — гравитационное линзирование.

Гравитационное линзирование. Суть эффекта состоит в том, что любая электромагнитная волна, в том числе и световая, искривляется, проходя в гравитационном поле крупных космических объектов (звезд, планет и даже целых галактик). Иллюстрация эффекта изображена на рисунке 10.1.

Рис. 10.1. Гравитационное линзирование и крест Эйнштейна (справа)

Закон независимости световых лучей: световые лучи при пересечении не возмущают друг друга.

Для сравнения рассмотрим два пересекающихся воздушных потока. При пересечении такие потоки будут мешать друг другу, перемешиваться и т.д. Пересекающиеся световые потоки друг другу не мешают. Причина проста — световые потоки не сопровождаются переносом вещества, поэтому не мешают друг другу.

Закон отражения: луч падающий, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред, лежат в одной плоскости. При этом угол падения равен углу отражения (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Законы отражения и преломления света

Заметим, что в оптике принято углы отсчитывать от перпендикуляра. Таким образом, на рисунке 10.2 введены следующие обозначения: α — угол падения, β — угол отражения, γ — угол преломления.

Закон Снеллиуса (закон преломления). Углы падения и преломления связаны соотношением

где n1 — показатель преломления среды 1, n2 — показатель преломления среды 2. Из последнего соотношения следует, что при прохождении светового луча из среды с меньшим показателем преломления в среду с большим показателем угол преломления меньше угла падения, и наоборот.

Преломление света. Наличие у среды показателя преломления обусловлено различием скоростей распространения света в разных средах. Проиллюстрируем это на примере (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Иллюстрация преломления света

Предположим, что мы имеем дело с плоским фронтом волны (см. рис. 10.3, фронт волны изображен параллельными прямыми). Если фронт попадает из одной среды в другую под прямым углом, то, поскольку скорость волны в разных средах различна, все точки фронта волны меняют свою скорость одновременно. Это никак не скажется на направлении фронта в пространстве. Если же падение волны — не под прямым углом, то точки фронта, уже попавшие в другую среду, меняют свою скорость, точки же, пока не перешедшие границу раздела, сохраняют свою скорость прежней. В результате направление фронта волны меняется, следовательно, меняется и направление распространения светового луча.

Для большей убедительности на рисунке 10.3 приведен пример автомобиля, съезжающего с асфальта в песок не под прямым углом. В этом случае левое колесо автомобиля уже заехало на песок и «прокручивается», а правое продолжает двигаться по асфальту с прежней скоростью. В результате автомобиль «заносит», т.е. меняется направление его движения.

Таким образом, наличие преломления светового луча есть следствие отличия скоростей распространения света в различных средах. Кроме того, преломление не наблюдается в случае нормального падения (под прямым углом).

Показатели преломления n1, n2, входящие в закон Снеллиуса, есть абсолютные показатели преломления. Закон Снеллиуса можно записать также в следующем виде

в этом случае n21относительный показатель преломления. Нетрудно понять, что абсолютный показатель преломления есть

где n0 = 1 — показатель преломления воздуха (вакуума). Таким образом, абсолютный показатель преломления есть частный случай относительного показателя преломления по отношению к воздуху (вакууму).

Ранее было показано, что величина показателя преломления связана со скоростью распространения световой волны в среде. Действительно,

   (10.1)

Тонкая линза — это прозрачное тело, ограниченное двумя поверхностями (сферическими, плоскими). При этом толщиной тонкой линзы можно пренебречь по сравнению с радиусом кривизны. Геометрическими характеристиками тонкой линзы (рис. 10.4) являются:

  • вершины линзы (точки А и В);
  • толщина линзы (длина отрезка АВ);
  • главная оптическая ось (прямая АВ);
  • главная плоскость линзы (прямая CD);
  • диаметр линзы (длина отрезка CD);
  • радиус кривизны линзы (R).

Рис. 10.4. Тонкая линза

Не путайте радиус кривизны линзы с радиусом самой линзы. Радиусом кривизны называется радиус воображаемой сферы, из которой линза вырезана (см. рис. 10.4).

Линзы могут быть собирающими и рассеивающими.

Формула тонкой линзы

где n — показатель преломления материала линзы, n0 — показатель преломления окружающей линзу среды, F — фокусное расстояние линзы, R1, R2 — радиусы кривизны поверхностей линзы.

Оптическая сила линзы есть величина, обратная фокусному расстоянию

и измеряется в диоптриях (дптр). Таким образом, чем ближе располагается фокус линзы к ее главной плоскости, тем линза оптически более сильная (и наоборот). Чем больше кривизна линзы, т.е. чем меньше радиус сферических поверхностей, образующих линзу, тем короче ее фокусное расстояние.

Теперь попробуем определить оптическую силу линзы (см. рис. 10.4). Она — симметричная, следовательно, R1 = R2, а из формулы тонкой линзы следует, что D = 0, но это не соответствует действительности. Для того чтобы избежать подобной ошибки, считают, что радиус кривизны может быть как положительной, так и отрицательной величиной.

Радиус кривизны положителен (R > 0), если центр кривизны лежит справа от соответствующей вершины линзы. Аналогично, радиус кривизны отрицателен (R < 0), если центр кривизны лежит слева от соответствующей вершины линзы. Таким образом, на рис. 10.4 R < 0, а D ≠ 0.

Увеличение линзы есть (рис. 10.5)

где AB — размер объекта, A1B1 — размер изображения, a — расстояние от линзы до объекта, b — расстояние от линзы до изображения.

Рис. 10.5. Иллюстрация увеличения линзы

С учетом последнего, в задачах по геометрической оптике иногда удобно использовать выражение

Собирающие и рассеивающие линзы. Собирающую линзу можно отличить от рассеивающей по форме ее поверхностей или по оптической силе (рис. 10.6). У всех собирающих линз середина толще, чем края. У всех рассеивающих линз — наоборот: середина тоньше края.

Рис. 10.6. Тонкие линзы:

а) собирающие; б) рассеивающие

Собирающие линзы собирают параллельный пучок лучей, падающих на линзу, в сходящийся; рассеивающие — наоборот, рассеивают параллельный пучок, падающий на линзу, делая его расходящимся (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Действие линз:

а) собирающих; б) рассеивающих

Оптическая сила собирающих линз — положительна (D > 0), рассеивающих — отрицательна (D < 0).

Собирающие линзы можно использовать как лупу для увеличения изображения, однако, в зависимости от того, на каком расстоянии от линзы расположен предмет, его изображение может быть либо увеличенным, либо уменьшенным. Четкое изображение предмета возникает в месте, где пересекаются лучи, идущие через центр линзы, и лучи, которые после преломления походят через фокус линзы. Располагая в этой точке экран, мы видим это изображение. Если предмет расположен достаточно далеко от собирающей линзы, то изображение на экране будет перевернутым и уменьшенным. Приближая предмет к линзе и отодвигая экран, мы увидим, что изображение на экране будет получаться увеличенным и перевернутым. Наступит момент, когда изображение на экране получить будет нельзя, но если посмотреть со стороны линзы на предмет, то можно увидеть его увеличенное мнимое изображение.

Для рассеивающих линз независимо от того, где расположен предмет, его изображение всегда будет меньше размеров самого предмета.

Правила построения изображений (рис. 10.8). Первоначально нам необходимо запомнить ход некоторых характерных лучей в линзах (опорные лучи).

Сначала разберем ход лучей в собирающей линзе (см. рис. 10.8, а).

  • Луч 0, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется.
  • Луч 1, проходящий через центр линзы, также не преломляется.
  • Луч 2, падающий параллельно главной оптической оси, на выходе из линзы преломляется в ее фокус.
  • Луч 3, проходящий через фокус линзы, на выходе из нее распространяется параллельно главной оптической оси.
  • Луч 4, идущий через двойной фокус (т.е. точку, лежащую на расстоянии двух фокусных расстояний от линзы), преломляется в другой двойной фокус.

Рис. 7.8. Ход лучей:

а) в собирающей и б) рассеивающей линзах

Ход лучей в рассеивающей линзе (см. рис. 10.8, б).

  • Луч 0, идущий вдоль главной оптической оси, не преломляется.
  • Луч 1, проходящий через центр линзы, не преломляется.
  • Луч 2, падающий параллельно главной оптической оси, на выходе из линзы преломляется так, что его продолжение попадает в фокус.
  • Луч 3, падающий на фокус линзы, на него не попадает, а преломляется так, что выходит из линзы параллельно главной оптической оси.
  • Луч 4, падающий на двойной фокус, на него не попадает, а преломляется так, что его продолжение попадает в другой двойной фокус.

Пример построения изображения

В качестве примера построения изображения разберем случай, когда предмет находится за двойным фокусом, а линза является собирающей (рис. 10.9).

 

Рис. 10.9. Построение изображения в собирающей линзе

Для удобства объект (предмет) принято изображать в виде вектора, чтобы четко различать его «начало» и «конец». Для того чтобы получить изображение объекта AB, необходимо через две точки (А и В) провести хотя бы по два опорных луча, ход которых был описан выше, точка пересечения лучей есть искомая точка изображения.

Через точку B проведены два опорных луча: через центр линзы и параллельный главной оптической оси (см. рис. 10.9). Они пересеклись в точке B1. Таким же способом находим положение точки A1. Таким образом, в данном примере мы получили действительное перевернутое изображение. Аналогично получается изображение, даваемое рассеивающей линзой (рис. 10.10). Рассеивающая линза в нашем примере дает прямое мнимое изображение.

Рис. 10.10. Построение изображения в рассеивающей линзе


Пример решения задачи

Дано: луч света падает на плоскопараллельную пластинку под углом i и, пройдя через нее, выходит с обратной стороны параллельно падающему лучу со сдвигом l (рис. 10.11). Показатель преломления материала пластинки — n. Определить толщину пластинки d.

Рис. 10.11. Иллюстрация к задаче

Решение: толщину пластинки можно определить из соображения

   (1)

Длину отрезка AB можно определить из соотношения: а угол r — из закона Снеллиуса

Кроме того, учтем что . Подстановка в (1) дает


Важно запомнить

  1. Закон Снеллиуса (закон преломления):
  2. Показатель преломления:
  3. Формула тонкой линзы
Последнее изменение: пятница, 16 Сентябрь 2016, 18:19