10.4. Дифракция. Дифракция на простейших преградах, рентгеновских лучей

Дифракцией называют совокупность явлений, которые приводят, в частности, к огибанию светом препятствий и проникновению света в область геометрической тени. Действительно, посмотрите вокруг себя. Вы прекрасно видите окружающие вас предметы, даже если они не находятся под прямыми лучами света. Но вспомните закон прямолинейного распространения света. Если он справедлив, то мы не должны видеть объекты, не находящиеся под прямыми лучами. А мы видим. «Но ведь есть закон отражения — скажете вы. — Предметы видны в отраженных лучах». Вы будете правы, но лишь отчасти. Все дело в том, что лучи, распространяясь прямолинейно, могут огибать препятствия. И это никак не противоречит закону прямолинейного распространения. Понять это поможет принцип Гюйгенса — Френеля.

Принцип Гюйгенса — Френеля. В 1678 г. Христиан Гюйгенс сформулировал следующий принцип: каждая точка волновой поверхности является источником вторичных волн, огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени. В 1815 г. Огюстен Жан Френель добавил: вторичные волны когерентны между собой и поэтому интерферируют при наложении. Эти утверждения вместе и называют принципом Гюйгенса — Френеля.

Посмотрите на рисунок 10.27. Каждая точка волнового фронта в момент времени t1 может считаться самостоятельным источником. Все такие источники когерентны и создают колебания, которые в последующий момент времени t2 складываются друг с другом и дают новый волновой фронт.

Рис. 10.27. Принцип Гюйгенса — Френеля

Теперь, когда мы знаем принцип Гюйгенса — Френеля, объяснить проникновение света в область геометрической тени несложно. Пусть на пути световой волны стоит препятствие в виде круглого диска (рис. 10.28). Точки S1 и S2 можно считать источниками вторичных волн, которые дают потоки, пересекающиеся в области геометрической тени (точка наблюдения P на экране Э).

Рис. 10.28. Дифракция на круглом диске

Аналитическое выражение, показывающее интенсивность волны E в точке наблюдения P, есть

где k — волновое число, r — расстояние от элемента волнового фронта до точки наблюдения P, a0 — амплитуда колебаний волны, φ — угол между направлением распространения волны и направлением на точку наблюдения, K(φ) — коэффициент, зависящий от угла φ. K(φ = 0) = max и K(φ = π/2) = 0.

Метод зон Френеля позволяет аналитически определить: максимум или минимум будет в точке наблюдения. Можно сказать, что этот метод — мысленный. Весь волновой фронт мысленно разбивается на зоны (зоны Френеля). Зоны получаются сечением волнового фронта параллельными плоскостями. Таким образом, зоны представляют собой концентрические кольца (сегменты), поверхность которых искривлена вследствие сферической формы волнового фронта (рис. 10.29).

Рис. 10.29. Метод зон Френеля

Границы зон выбираются таким образом, чтобы расстояние от точки наблюдения P до конца следующей зоны было на λ/2 больше расстояния от той же точки наблюдения до конца предыдущей зоны. Если принять расстояние от центральной точки фронта волны до наблюдателя за b, то границу первой зоны нужно провести там, где расстояние до наблюдателя уже b + λ /2, границу второй зоны — на расстоянии b + λ, границу третьей — на расстоянии b + (3/2)λ и т.д.

Такое деление на зоны неслучайно. Поскольку зоны выбраны так, чтобы расстояния от них до точки наблюдения отличались на половину длины волны, то колебания от двух соседних зон приходят в точку наблюдения в противофазе и их легко складывать.

Пример

Отверстие (диафрагма) на пути световой волны полностью совпадает с размерами первой зоны Френеля (открывает только первую зону Френеля). Тогда на экране в точке наблюдения будет наблюдаться светлое пятно (максимум). Если диафрагма открывает вторую зону, то колебание от второй зоны наложится на колебание от первой зоны, но они — в противофазе, следовательно, погасят друг друга и дадут минимум интенсивности (темное пятно). Аналогично, три открытых зоны дадут наложение на темную картинку от двух зон колебания третьей зоны в противофазе, т.е. максимум. И так далее.


Легко заметить закономерность: открытое четное число зон Френеля дает наблюдателю минимум, нечетное — максимум. Таким образом, метод зон Френеля позволяет легко, без сложных математических вычислений, определить положение максимумов и минимумов интенсивности. Радиус зоны Френеля можно определить по формуле

    (10.7)

где a и b — расстояния от фронта волны до источника и до экрана соответственно (см. рис. 10.29), m — номер зоны Френеля. Если фронт волны — плоский, то выражение (10.7) немного меняется. Если считать, что плоскость — это сфера с бесконечным радиусом, то выражение (10.7) становится неопределенностью:

Можно доказать геометрически, что площади зон Френеля S равны между собой. Это означает, что толщина каждой последующей зоны будет меньше толщины предыдущей, поскольку отличаются радиусы зон.

Если, к тому же, учесть, что расстояние до последующих зон немного больше, чем до предыдущих, то можно сделать вывод, что интенсивность каждой последующей зоны для наблюдателя несколько падает.

Амплитуда волны A при полностью открытом волновом фронте может быть найдена с учетом сдвига фаз соседних волн на π, из выражения

Сделаем преобразование, которое даст неожиданный результат

Несложно догадаться, что выражения в скобках стремятся к нулю вследствие неравности соседних амплитуд, и тогда

Последнее выражение означает, что амплитуда волны в точке наблюдения равна половине амплитуды, созданной одной лишь центральной зоной.

Если учесть, что интенсивность волны I пропорциональна квадрату ее амплитуды A

Последнее соотношение означает, что если на пути световой волны поставить преграду с отверстием, равным диаметру первой зоны Френеля, то интенсивность света на экране возрастает в 4 раза.

Возможность усиливать световой поток перекрытием зон Френеля реализована в таком приспособлении, как зонная пластинка.

Зонная пластинка. С ее помощью перекрываются четные зоны Френеля на волновом фронте, тем самым достигается двухкратное усиление потока.

Фазовая зонная пластинка сделана таким образом, что четные зоны Френеля отличаются по толщине от нечетных на половину длины волны. Другими словами, толщина стекла в тех местах, где располагаются четные зоны, больше или меньше, это не важно. В этом случае колебания от четных зон не перекрываются, как в предыдущем случае, а обращаются в противофазу, что дает усиление интенсивности волны в 4 раза.

Пример решения задачи

Дано: найти радиусы первых пяти зон Френеля, если расстояние от источника до фронта волны составляет a = 10 м, от фронта до экрана b = 10 м, а длина волны λ = 600 нм.

Решение: радиус m-й зоны Френеля при сферическом фронте волны определяем по формуле После подстановки чисел получаем


Метод графического сложения амплитуд (рис. 10.30), в отличие от метода зон Френеля, учитывает уменьшение интенсивности с возрастанием номера зоны Френеля. Весь волновой фронт мысленно разбивается на бесконечно малые зоны, значительно меньшие, чем зоны Френеля. Амплитуды волн, создаваемых этими зонами, изображаются векторами (см. рис. 10.30, а). Фазы волн, создаваемых последующими зонами, немного отличаются от предыдущих, поэтому векторы амплитуд повернуты друг относительно друга на небольшой угол. Амплитуды волн, создаваемых последующими зонами, несколько меньше предыдущих. Следовательно, векторы последующих амплитуд немного короче предыдущих. В результате весь волновой фронт можно изобразить в виде огибающей к указанным амплитудам, которая принимает форму спирали, часто называемой спиралью Френеля (см. рис. 10.30, б).

Рис. 10.30. Метод графического сложения амплитуд

Чтобы определить результат действия нескольких зон, необходимо сложить друг с другом вектора, соответствующие амплитудам. Результатом сложения такого множества векторов станет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего. Точки 0, 1, 2, 3, 4 и т.д. есть границы зон Френеля с соответствующими номерами.

Примеры

Пример 1. На волновом фронте открыта только первая зона Френеля. В этом случае амплитуда результирующей волны на экране изображается вектором из точки 0 в точку 1 (см. рис. 10.30, а, в).

Пример 2. На волновом фронте открыты две зоны Френеля. В этом случае амплитуда результирующей волны на экране изображается вектором из точки 0 в точку 2 (см. рис. 10.30, а).

Пример 3. Открыт весь фронт волны. Амплитуда результирующей волны на экране изображается вектором из точки 0 в точку ∞, которая расположена в центре спирали (см. рис. 10.30, б).

Пример 4. Открыта половина первой зоны. Амплитуда изображается вектором из точки 0 в точку 1/2 (см. рис. 10.30, б). Например, нам потребуется сравнить интенсивности двух волн: с полностью открытым волновым фронтом и открытой половиной первой зоны. Помня, что интенсивности пропорциональны квадратам амплитуд (I ~ A2), сравниваем гипотенузу прямоугольного треугольника с его катетом (см. рис. 10.30, б) и получаем, что

Пример 5. Закрыта половина первой зоны Френеля, а с половины третьей зоны закрыт дальше весь волновой фронт. Иначе говоря, открытой остается область от половины первой зоны до половины третьей. Амплитуда волны в этом случае изображается вектором из точки 1/2 в точку 2,5 (см. рис. 10.30, г).


При использовании метода графического сложения амплитуд необходимо четко понимать, что длинные вектора амплитуд соответствуют максимумам интенсивности на экране, короткие же — минимумам, т.е. темным областям на дифракционной картине.

Дифракция Френеля на круглом отверстии. На пути световой волны ставится преграда, в которой проделано отверстие (рис. 10.31). Каким бы ни было это отверстие, оно открывает некоторое число зон Френеля m. Определить количество открытых зон можно из формулы (10.7).

Рис. 10.31. Дифракция на круглом отверстии

Как мы уже выяснили раньше, если отверстие открывает четное число зон, то в точке наблюдения P будет минимум интенсивности (темная область), если нечетное — максимум (светлая область). Если открыта только одна центральная зона, то амплитуда волны будет в 2 раза выше, чем при полностью открытом волновом фронте, а интенсивность — в 4 раза выше (вспомните метод графического сложения амплитуд и сравните две этих величины).

Если отверстие открывает большое число зон Френеля, то максимумы и минимумы будут практически неразличимы, так как колебания вектора амплитуды будут происходить около центра спирали, их длины почти одинаковые.

Дифракция Френеля на круглом диске (рис. 10.32). Непрозрачный круглый диск закрывает некоторое число зон Френеля (см. рис. 10.28). Если диск перекрывает часть центральной зоны, то он совсем не отбрасывает тени, в центре дифракционной картины будет наблюдаться светлое пятно (см. рис. 10.32, а). Если диск закрывает достаточно много зон Френеля, то интерференционная картина будет наблюдаться в узкой области на границе геометрической тени, а центр картины будет темным (см. рис. 10.32, б). Если диск перекрывает лишь небольшое число первых зон, то в центре дифракционной картины будет наблюдаться небольшое светлое пятно (см. рис. 10.32, в).

Рис. 10.32. Дифракционная картина на круглом диске

Данное светлое пятно послужило причиной забавного инцидента, происшедшего между Пуассоном и Френелем. Парижская академия наук предложила дифракцию света в качестве темы на премию за 1818 г. Френель представил на премию свою работу, в которой оптические явления объяснялись с волновой точки зрения. Пуассон (противник волновой теории Френеля) — будучи членом конкурсной комиссии, обратил внимание на то, что из теории Френеля вытекает нелепый, как ему казалось, вывод, что в центре тени, отбрасываемой небольшим круглым диском, должно находиться светлое пятно. Этот вывод Пуассон хотел использовать как главный аргумент против теории дифракции Френеля.

Араго тут же произвел опыт и обнаружил в центре дифракционной картины... пятно (см. рис. 10.32, в). Оно принесло победу и всеобщее признание волновой теории света и вошло в историю как пятно Пуассона.

Дифракция Френеля на прямолинейном краю полуплоскости. Рассмотрим случай, когда волновой фронт перекрывается прямолинейной полуплоскостью (рис. 10.33). Полуплоскость П находится на расстоянии b от экрана Э. Точка наблюдения P сдвинута на расстояние x от края полуплоскости П.

Рис. 10.33. Дифракция на прямолинейном краю полуплоскости

Волновой фронт делится на зоны, аналогично делению на зоны Френеля. Такие зоны получили название зоны Шустера. Зоны Шустера отличаются от зон Френеля тем, что их площадь уменьшается с ростом номера зоны (если вы помните, площади всех зон Френеля одинаковы). Границы зон Шустера выбираются таким образом, чтобы расстояние от конца последующей зоны до точки наблюдения было больше расстояния от конца предшествующей до точки наблюдения на половину длины волны. Таким образом, расстояние до границы 1-й зоны составляет b + λ/2, до границы 2-й — b + λ, до границы 3-й — b + (3/2)λ и т.д. Это делается из тех же соображений, что и при делении на зоны Френеля. Зоны справа от точки наблюдения P нумеруем как 1, 2, 3,..., слева от P нумеруем как 1', 2', 3',...

Дифракционная картина от прямолинейного края полуплоскости представлена на рисунке 10.34. Кроме того, здесь же приведен график зависимости интенсивности света I в точке наблюдения от координаты этой точки x. На нем I0 — интенсивность света при полностью открытом волновом фронте. Если вы внимательно читали предыдущий параграф, то понимаете, почему в точке x = 0 интенсивность I = (1/4)I0.

Рис. 10.34. Дифракционная картина от прямолинейного края полуплоскости

Для аналитического определения положения максимумов и минимумов интенсивности используется спираль Корню.

Спираль Корню представляет собой геометрическую фигуру — клотоиду, составленную по такому же принципу, как и спираль Френеля (рис. 10.35). Правая часть спирали (правее точки 0) соответствует области правее точки наблюдения P на рисунке 10.33. Левая часть — соответствует области левее точки наблюдения.

Рис. 10.35. Спираль Корню

На левой части спирали Корню (3-я четверть) определяем точку, соответствующую количеству открытых зон Шустера слева от точки наблюдения (в нашем примере это точка 3'). Аналогично, на правой части спирали (1-я четверть) определяем точку, соответствующую количеству открытых зон Шустера справа от точки наблюдения. В нашем примере справа открыт весь волновой фронт, следовательно, соответствующая ему точка находится в правом верхнем фокусе спирали.

Для того чтобы изобразить на спирали Корню амплитуду искомой волны, необходимо провести вектор из точки 3' в корень спирали (см. рис. 10.35). Заметим, то границы зон на спирали Корню расположены не так, как на спирали Френеля. Разберем это детальнее.

Порядковый номер зоны n линейно связан с расстоянием x от точки 0 до рассматриваемой зоны (см. рис. 10.34) следующим соотношением

где b — расстояние от фронта волны до экрана. Заметим, что n ~ x, т.е. параметр n пропорционален длине дуги спирали Корню и, вообще говоря, не обязательно целое число.

Для получения качественного (т.е. не числового) результата мы можем расставить номера зон на спирали Корню так же, как и на спирали Френеля (см. рис. 10.30, г). Только помните, что нижняя часть спирали обратно симметрична верхней. Но для получения точного числового результата необходимо все же рассчитать параметр n.

Дифракция Фраунгофера на щели (рис. 10.36). Отличие дифракции Френеля от дифракции Фраунгофера в том, что Фраунгофер рассматривает дифракцию в параллельных пучках света. Это может быть в двух случаях: либо источник света представляет собой плоскость, либо он удален на достаточно большое расстояние, поэтому фронт волны можно считать почти плоским. В дифракции же Френеля фронт волны — сферический.

Рассмотрим параллельный пучок света, падающий нормально на длинную узкую щель (см. рис. 10.36, а). Такую щель можно получить, расположив рядом две полуплоскости. Таким образом, рассмотрение вопроса становится во многом похоже на рассмотрение дифракции на полуплоскости.

Рис. 10.36. Дифракция на щели

Дифракционная картина в этом случае представляет собой параллельные интерференционные полосы. Для аналитического определения положения максимумов и минимумов интерференции можно воспользоваться спиралью Корню. Волновой фронт разбивают на зоны Шустера, как в случае с полуплоскостью, правая ветвь спирали Корню соответствует открытым зонам справа от точки наблюдения P, левая ветвь — открытым зонам слева от точки P.

С помощью спирали Корню легко провести анализ интерференционной картины. Например, если щель достаточно широкая и открывает много зон, то амплитуда волны в точке наблюдения представляется вектором, направленным из одного полюса спирали в другой, и практически не изменяется. Это означает, что на интерференционной картине полосы будут практически незаметными. При узкой щели, открывающей лишь несколько зон, вектор амплитуды будет существенно менять свою длину, а на экране станут отчетливо выделяться максимумы и минимумы интенсивности.

Если же свет падает на щель под углом φ, то ситуация несколько меняется. Между щелью и экраном Э можно поставить собирающую линзу (см. рис. 10.36, б), если же экран расположен далеко от щели, то в линзе нет необходимости. Между волнами, приходящими от краев щели в точку наблюдения P, набегает разность хода Δ.

Волновой фронт разбивают на k равных зон (напомню, что зоны Шустера не равны) так, чтобы разность хода лучей от двух соседних зон составила Δ = λ/2. Тогда разность хода лучей, пришедших от краев щели, составит Δ = k(λ/2). При таком делении на зоны, если k — четное, то в точке наблюдения будет минимум (колебания соседних зон погашают друг друга). Если же k — нечетное, то действие одной зоны остается нескомпенсированным и в точке наблюдения будет максимум.

Теперь становится понятным, как сформулировать условия максимума и минимума.

Условие минимума. Обозначим ширину щели через b, а угол падения луча на щель — φ. Минимум интенсивности будет наблюдаться в тех точках экрана, где разность хода лучей, пришедших от краев щели Δ, будет равна четному числу длин полуволн 2k(λ/2) (либо целому числу длин волн kλ). Поскольку можно выразить геометрически, что Δ = bsinφ, (см. рис. 10.36, б) то

    (10.8)

Условие максимума. По аналогии, максимум интенсивности будет наблюдаться в тех точках экрана, где разность хода лучей, пришедших от краев щели Δ, будет равна нечетному числу длин полуволн (2k+1)(λ/2) (либо полуцелому числу длин волн (k+1/2) λ)

     (10.9)

Заметим, что функция sinφ ≤ 1, и тогда из условия минимума (10.8) следует, что (kλ)/b ≤ 1 или k ≤ (b/λ). Это означает, что если ширина щели меньше длины волны b < λ, то минимумов не возникает. График зависимости интенсивности света I в точке экрана от синуса угла наклона падающей волны sinφ приведен на рисунке 10.37.

Рис. 10.37. Зависимость интенсивности от угла

Координаты точек минимума и максимума, откладываемые на этом графике по оси абсцисс, определяются условиями максимума и минимума (10.8) — (10.9), если считать k = 1, 2, 3,... Из графика следует, что при уменьшении ширины щели b ширина интерференционной полосы увеличивается (и наоборот).

Дифракционная решетка представляет собой большое число одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одинаковые расстояния (рис. 10.38). Изготовить дифракционную решетку можно, нанеся периодические царапины, например, на стеклянную пластину. В этом случае щелями будут являться расстояния между царапинами. Периодом решетки d называется расстояние между началами щелей. Решетка может иметь от 100 до 2000 щелей на 1 мм. Это значит, что в последнем случае период дифракционной решетки d = 1/(2000 · 103) = 0,5 · 10–6 м–1.

Рис. 10.38. Дифракционная решетка

В таком оптическом приборе усиливать (или ослаблять) друг друга будут колебания от отдельных щелей в направлении угла φ. Условия максимума и минимума полностью совпадают с соответствующими условиями для щели (10.8) — (10.9). А вот дифракционная картина, даваемая решеткой, несколько сложнее, чем у щели (рис. 10.39). Помимо главных максимумов интенсивности (m = 0, m = 1) возникают еще добавочные максимумы (k = 0, k = 1, k = 2, k = 3,...). При этом говорят, что m = 0 — максимум нулевого порядка, m = 1 — максимум первого порядка и т.д.

Рис. 10.39. Интенсивность картины от дифракционной решетки

Количество наблюдаемых главных максимумов определяется выражением

угловая ширина центрального максимума

где Nd — длина дифракционной решетки.

Положение максимумов дифракционной картины зависит как от ширины щели b, так и от длины волны источника λ (см. рис. 10.39). Чем больше длина волны (чем «краснее» источник), тем шире будет дифракционная картина. Если же источник белый, то на дифракционной картине главные максимумы разложатся в полный спектр таким образом, что фиолетовые максимумы будут ближе к центру, красные — дальше от него (рис. 10.40). Центральный же максимум останется белым, поскольку в этой точке совпадают положения центральных максимумов для всех длин волн. На максимумы второго порядка накладываются максимумы третьего порядка, на них — максимумы четвертого порядка и т.д. Буквами К и Ф показан порядок разложения белого света в спектр — от красного к фиолетовому (см. рис. 10.40).

Рис. 10.40. Дифракция в белом свете

Дисперсия дифракционной решетки — расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися на 1 ангстрем (Å). Вспомним, что 1 Å = 10–10 м.

Угловая дисперсия

где m — порядок спектра.

Линейная дисперсия

где δl — расстояние между двумя соседними волнами с длинами δλ, F — фокусное расстояние линзы.

Разрешающая сила дифракционной решетки выражается как

Дифракционная решетка применяется в различных спектральных приборах, а также в качестве оптических датчиков линейных и угловых перемещений, в качестве поляризаторов и фильтров инфракрасного излучения, делителей пучков в интерферометрах и в «антибликовых» очках. Простейшим примером отражательных дифракционных решеток является компакт-диск или DVD.

Критерий разрешимости Рэлея. Раз была упомянута разрешающая сила, необходимо разобраться в критерии разрешимости Рэлея. Мы говорили о максимумах и расстояниях между ними, но может ли человеческий глаз различить два соседних максимума как отдельные? Не сольются ли они в одно пятно? Ответ на этот вопрос дал Рэлей.

Некоторые наивно полагают, что, возьми мы оптический прибор «помощнее», и любые два соседних максимума можно отличить друг от друга (разрешить). Но это не так. Если считать, что максимум плавно переходит в минимум, то два соседних максимума мы сможем отличить друг от друга (отделить) лишь тогда, когда второй максимум начинается не раньше середины первого (рис. 10.41).

Понять это поможет рисунок 10.41, а: два соседних максимума на нем расположены так, что начало одного лежит на середине другого. В этот момент наш глаз сможет различить, что на экране два максимума, а не один. Если их сдвинуть ближе, то максимумы сольются (см. рис. 10.41, б) и глаз не сможет их различить, вне зависимости от оптического прибора, который мы будем использовать.

 

Рис. 10.41. Критерий разрешимости Рэлея

Дифракция рентгеновских лучей. Знания о дифракционной решетке полезны, например, при изучении кристаллов. Кристаллы можно рассматривать как двумерную дифракционную решетку (рис. 10.42). Узлы в ней расположены в строгой периодичности, а расстояния между ними можно считать щелями решетки. Условия максимума и минимума (10.8) — (10.9) в этом случае правомерны. Правда, в случае с кристаллами под b нужно понимать не ширину щели, а расстояние между соседними слоями кристалла. Интерферируют лучи 1 и 2 (см. рис. 7.42, а), следовательно, разность хода между ними есть 2dsinφ и положение максимумов на дифракционной картине определяется формулой Брегга — Вульфа

Рис. 10.42. Дифракция в кристаллах

Световая волна видимого диапазона не пройдет через кристаллическую решетку, поскольку расстояние между узлами решетки слишком мало, меньше длины волны видимого спектра. Но короткая волна, например, рентгеновская, вполне способна пройти между узлами. Таким образом, можно наблюдать дифракционную картину, созданную рентгеновскими лучами.

По дифракционной картине (см. рис. 10.42, б) можно сделать выводы о длине волны источника и о периоде дифракционной решетки (кристалла). Таким образом, дифракция рентгеновских лучей на кристаллах используется в рентгеновской спектроскопии для изучения спектрального состава рентгеновского излучения, а также в рентгеноструктурном анализе для изучения структуры кристаллов.

Важно запомнить

  1. Радиус зоны Френеля
  2. Условие минимума:
  3. Условие максимума:
  4. Разрешающая сила дифракционной решетки
  5. Формула Брегга — Вульфа:
Последнее изменение: пятница, 23 Сентябрь 2016, 18:28