12.3. Уравнение Шредингера

Хорошо известно, что положение макроскопического тела описывается уравнением кинематики, предложенным Галилеем (1.1). Это уравнение позволяет нам однозначно определить координату тела x в произвольный момент времени t. Однако уравнение совершенно не подходит для определения координаты частицы или фотона. Хотя бы по той причине, что эту самую координату, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, вообще невозможно задать точно.

Поэтому возникла необходимость создать новое уравнение, позволяющее определить зависимость координаты частицы (фотона) от времени с вероятностной позиции. Такая функция Ψ(x, y, z, t), называемая пси-функцией, определяется уравнением Шредингера, которое появилось на свет вскоре после появления идеи де Бройля о волновой природе частиц и явилось логическим продолжением квантовой механики. Уравнение является линейным дифференциальным уравнением в частных производных и описывает изменение в пространстве и во времени состояния частицы, задаваемого волновой функцией Ψ.

Согласно распространенному среди физиков фольклору, Шредингер выступал на научном семинаре в Цюрихском университете. Он рассказывал о новых идеях, витающих в воздухе, о том, что объекты микромира часто ведут себя скорее как волны, нежели как частицы. Тут слова попросил пожилой преподаватель и сказал: «Шредингер, Вы что, не видите, что все это чушь? Или мы тут все не знаем, что волны — они на то и волны, чтобы описываться волновыми уравнениями?» Шредингер воспринял это как личную обиду и задался целью разработать волновое уравнение для описания частиц в рамках квантовой механики — и с блеском справился с этой задачей.

Уравнение Шредингера

Здесь i — мнимая единица,  — оператор Лапласа, U = U(x, y, z, t) — потенциальная энергия частицы, определяющая силу, действующую на частицу как F = – gradU, m — масса частицы. Вспомним, что оператор Лапласа

Если состояние частицы не зависит от времени, Ψ = Ψ(x, y, z), уравнение Шредингера принимает упрощенный вид и называется стационарным уравнением Шредингера

        (12.1)

где E — полная энергия частицы.

Физический смысл пси-функции состоит в том, что ее квадрат определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах некоторого объема dV. Таким образом, плотность вероятности нахождения частицы в некотором объеме определяется как

Проинтегрировав последнее выражение от начального объема V0 до конечного V, приравняем полученный интеграл к единице, поскольку вероятность найти частицу в этом объеме стопроцентная

     (12.2)

Пример решения задачи (квантование частицы в потенциальной яме)

Дано: частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. Определить Ψ-функцию внутри ямы.

Объяснение: во-первых, необходимо определить само понятие «потенциальной ямы». Сначала для простоты представим, что частица находится в обычной, в геометрическом смысле, яме. Частица лежит на дне ямы, при этом сама яма — с бесконечно высокими стенками. Это означает, что частица не может оказаться за пределами этой ямы (рис. 12.1), поскольку ей не хватит потенциальной энергии.

Рис. 12.1. Частица в потенциальной яме

Следующим шагом рассмотрим частицу в потенциальной яме. Теперь уже яма — не геометрическая, а энергетическая. Для того чтобы находиться на дне ямы (интервал от 0 до l), не требуется никакая энергия. Но, чтобы преодолеть бесконечный потенциальный (энергетический) барьер, частице требуется бесконечная потенциальная энергия. Например, электрон, вращающийся в атоме вокруг своего ядра, в нашем понимании находится на дне потенциальной ямы. Правда, такая яма не бесконечна, в этом случае она называется потенциальным барьером. Такой электрон может оторваться от своего атома и стать свободным, но для этого ему потребуется определенная энергия.

Решение. Определим так называемые граничные условия, т.е. значения функций на границе.

В интервале  потенциальная энергия U = 0,                 (1)

в интервалах x < 0, x > l потенциальная энергия U = ∞.              (2)

Кроме того, Ψ(x) = Ψ(0) = Ψ(l) = 0,                                                 (3)

поскольку вероятность частице оказаться в точках x = 0 и x = l нулевая, так как барьер — бесконечный.

Положение нашей частицы не зависит от времени, следовательно, можно воспользоваться стационарным уравнением Шредингера (12.1). Мы определяем Ψ-функцию внутри ямы, где, согласно условию (1), U = 0, и уравнение упростится до вида

Кроме того, для одномерной задачи (где не учитываются координаты y и z) упрощается и представление оператора Лапласа, и уравнение Шредингера для нашей задачи примет вид

Мы получили классическое уравнение колебаний вида

решением которого является функция

   (4)

Осталось определить значения коэффициентов a, k и α. Из условия (3) следует, что

Из того же условия (3) следует, что

Полученные коэффициенты k и α подставляем в уравнение (12.2)

Подстановка a, k и α в (4) дает

Таким образом, мы получили Ψ-функцию для частицы, находящейся на дне бесконечной потенциальной ямы шириной l. Следует заметить, что эта функция — периодическая и не всегда принимает значения, равные единице. А это означает, что есть отличная от нуля вероятность того, что частица окажется за пределами бесконечной потенциальной ямы, хоть это и кажется нам невозможным.

Квантование же частицы состоит в том, что значения ее Ψ-функции могут принимать определенные дискретные (квантовые) значения.


Туннельный эффект состоит в том, что, аналогично только что рассмотренному примеру, есть отличная от нуля вероятность того, что частица может преодолеть потенциальный барьер, даже если ее энергия меньше энергии барьера (рис. 12.2).

Рис. 12.2. Туннельный эффект

Важно запомнить

  1. Уравнение Шредингера:
  2. Стационарное уравнение Шредингера:
  3. Физический смысл пси-функции:
Последнее изменение: понедельник, 19 Сентябрь 2016, 11:04