13.2. Квантовая статистика Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака

Распределение Ферми — Дирака позволяет определить концентрацию фермионов (названы так в честь Ферми) в одном квантовом состоянии. Если вспомнить, что концентрация — это число частиц на единицу объема, то можно понять, что концентрация фермионов — это число фермионов, отнесенное к общему числу квантовых состояний. Если для простоты называть одно квантовое состояние с четырьмя квантовыми числами ячейкой, то тогда распределение Ферми — Дирака показывает среднюю концентрацию фермионов в одной ячейке (не в каждой ячейке, а в среднем).

Вывод распределения — не самая простая задача. Здесь ограничимся лишь алгоритмом вывода, без деталей. Итак, предположим, что у нас имеется N фермионов, которые неизвестным образом распределяются по Z ячейкам (т.е., возможны только Z различных комбинаций квантовых чисел). Статистический вес (т.е., число возможных способов, которыми можно разместить N фермионов по Z ячейкам) определяется формулой

Проверим эту формулу, например, для N = 2 и Z = 5. Получим

Теперь убедимся на практике в том, что формула верна. Посмотрим на таблицу 13.2. В каждой строке изображены 5 ячеек, в которых разложены 2 частицы. Действительно, комбинаций всего 10, как строк в таблице.

Таблица 13.2

Распределение фермионов по ячейкам

Энтропия системы определяется формулой:

Для определения наиболее вероятного состояния системы необходимо найти максимум этой энтропии. Для этого производную от энтропии по числу частиц приравняем нулю, откуда и найдем точку максимума, а именно

Из последнего выражения находим отношение  — среднее число частиц, приходящихся на одну ячейку. Окончательно распределение Ферми — Дирака выглядит следующим образом:

где E — энергия одной частицы, T — температура, µ — химический потенциал, k — постоянная Больцмана.

Химический потенциал представляет собой энергию добавления одной частицы в систему без совершения работы.

Распределение Бозе — Эйнштейна позволяет определить концентрацию бозонов (названы так в честь Бозе) в ячейке. Алгоритм вывода аналогичен предыдущему. Разница лишь в выражении для статистического веса. В случае бозонов он определяется как

Как и ранее, проверим эту формулу для Z = 5, N = 2.

Количество различных комбинаций размещения частиц по ячейкам увеличилось. Почему? Посмотрим на таблицу 13.3. Ведь теперь мы ведем речь про бозоны, а они не подчиняются принципу Паули и могут размещаться по два в одной ячейке.

Таблица 13.3.

Распределение бозонов по ячейкам

Окончательно распределение Бозе — Эйнштейна имеет вид:

Заметим, что оба рассмотренных нами статистических распределения очень похожи и отличаются только одним знаком. Это легко объяснить: концентрация фермионов меньше концентрации бозонов (при прочих равных условиях), поскольку к фермионам применим принцип Паули, и они не могут находиться вдвоем в одном квантовом состоянии, а бозоны — могут.

Важно запомнить

  1. Распределение Ферми — Дирака: .
  2. Распределение Бозе — Эйнштейна: .
  3. К фермионам применим принцип Паули, и они не могут находиться вдвоем в одном квантовом состоянии, а бозоны — могут.

 

Последнее изменение: среда, 3 Февраль 2016, 12:59